Statistické míry rozptylu zahrnují rozpětí, rozptyl, směrodatnou odchylku, variační koeficient a interkvartilové rozpětí. Pomocí měr variability se popisuje rozptýlení hodnot kolem střední hodnoty (aritmetického průměru). Je nutné rozlišovat mezi rozptylem výběrovým a populačním: výběrový rozptyl udává rozptýlení hodnot ve sledovaném souboru (je tedy omezen pouze na zjištěná data), populační rozptyl odhaduje rozptýlení hodnot v celé populaci (kterou nelze celou proměřit, pracuje se proto jen s výběrem).

 

 

Rozpětí

Rozpětí R je vzdálenost mezi největší (x_max) a nejmenší (x_min) hodnotou souboru:

 

R = x_max - x_min

 

Mají-li data normální rozložení, lze výběrovou směrodatnou odchylku odhadnout jako jednu šestinu rozpětí.

 

 

 

Rozptyl (výběrový)

Rozptyl se počítá jako suma čtverců rozdílů naměřených hodnot x_i od průměru x dělená počtem měření změnšeným o 1.

 

          å(x_i – x)²

s² = ───────

             n - 1

 

 

Směrodatná odchylka (výběrová)

Je druhou odmocninou výběrového rozptylu:

            __

 s = + √s²

 

 

 

Rozptyl (populační = odhadovaný z výběrového rozptylu)

Rozptyl populační (a směrodatná odchylka populační) se počítá obdobně jako rozptyl výběrový, ale ve jmenovateli je n. Populační rozptyl a populační směrodatná odchylka je tak vždy menší než výběrový rozptyl (resp. výběrová směrodatná odchylka).

 

Rozptyl (populační) se vypočte podle vztahu

 

         å(x_i – x)²

s² = ───────

               n

 

Pro hodnoty n nad 30 lze považovat výběrový a populační rozptyl za totožné.

 

 

Směrodatná odchylka (populační)

Je opět odmocninou populačního rozptylu.

 

 

Rozptyl průměru

Rozptyl průměru (s_x²) charakterizuje variabilitu aritmetického průměru. Vypočte se jako podíl výběrového rozptylu a počtu měření n:

 

s_x² = s_x²/n

 

 

Směrodatná odchylka průměru (střední chyba průměru)

Směrodatná odchylka průměru (s_x, používá se také termín výběrová směrodatná odchylka průměru) ukazuje nejistotu aritmetického průměru x. Vypočte se jako druhá odmocnina rozptylu průměru. Směrodatná odchylka průměru představuje směrodatnou nejistotu typu A (u(x) = s_x).

 

 

 

Variační koeficient

Pro určité aplikace je vhodné vztáhnout směrodatnou odchylku vzhledem ke střední hodnotě (průměru, x). Variační koeficient (VK, v anglické literatuře CV, coefficient of variation, relativní výběrová směrodatná odchylka) vyjadřuje poměr výběrové směrodatné odchylky a aritmetického průměru (VK = s/x). Protože směrodatná odchylka i aritmetický průměr je udán ve stejných jednotkách, je variační koeficient číslo bezrozměrné. Obvykle se udává v procentech:

 

VK = s * 100 / x

 

Variační koeficient nelze samozřejmě použít u proměnných, kde je střední hodnota souboru blízká nebo rovná nule.

 

 

Literatura

Kubánková, V., Hendl, J.: Statistika pro zdravotníky. Zdravotnické aktuality 208, Praha, Avicenum 1986.

 

 

 

Další informace

Statistické míry polohy

Statistická prezentace dat

 

 

Antonín Jabor, recenzoval Zdenek Kubíček