Statistické míry polohy jsou průměr, medián, modus, kvantily. Pomocí těchto měr polohy se popisuje umístění typických charakteristik populace (souboru hodnot) na určité ose. V biologických vědách by se měl vždy používat medián a kvantily (vzhledem k tomu, že rozložení hodnot většiny sledovaných ukazatelů obvykle nesleduje normální, tj. gaussovské rozložení), aritmetický průměr se pak má používat jen tam, kde můžeme předpokládat normální rozložení dat. Z kvantilů jsou nejdůležitější kvantily ohraničující 95 % sledované populace, dále dolní kvartil a horní kvartil. Modus se používá v biologických vědách zřídka. U normálního (gaussovského) rozložení jsou hodnoty průměru, mediánu a modu totožné. Přehled o rozložení dat poskytne dále nejmenší hodnota souboru (x_min) nejvyšší hodnota souboru (x_max). Pro vícevrcholové rozložení je obligatorní grafické znázornění. Pro rozložení nesymetrická je nevhodné samotné použití aritmetického průměru, přednost má vždy medián. Pro rozložení asymetrické s prodlouženým pravým koncem (např. u koncentrace katalytické aktivity většiny enzymů) a jedním vrcholem je obvykle nejvyšší průměr a nejnižší modus, medián leží mezi nimi.

 

 

Průměr (prostý aritmetický)

Aritmetický průměr je funkcí všech hodnot výběru, považuje se za základní ukazatel střední hodnoty homogenních souborů s normálním (symetrickým) rozdělením. Nelze jej použít u nehomogenních souborů nebo u souborů s negaussovským rozložením, kde může aritmetický průměr poskytnout zcela zkreslené charakteristiky. Proto je vhodné před výpočtem určit rozložení dat (například pomocí histogramu nebo jinou jednoduchou grafickou metodou). Často se používá nevhodně (například vyskytují-li se odlehlé hodnoty). Vypočte se jako podíl sumy všech naměřených hodnot a počtu měření.

 

Aritmetický průměr (x) je podíl součtu všech sledovaných hodnot a jejich počtu (n):

 

x = (å x_i)/n

 

kde i nabývá hodnot 1 až n.

 

 

Vážený aritmetický průměr

Vážený aritmetický průměr několika nezávislých náhodných výběrů zjistíme tak, že součet součinů aritmetického průměru a počtu pozorování každého výběru vydělíme celkovým počtem pozorování ve všech výběrech. Stejného výsledku docílíme výpočtem aritmetického průměru všech pozorování všech výběrů. Vážený aritmetický průměr použijeme s výhodou při výpočtu celkového aritmetického průměru populace složené z dílčích skupin, kdy máme k dispozici aritmetické průměry a počty v jednotlivých skupinách. Z tohoto příkladu je patrné, že vážený aritmetický průměr by mohl být jedním z nástrojů při provádění metaanalýz odborné literatury.

 

 

Medián

Medián dělí soubor uspořádaný podle velikosti na 2 stejné poloviny, lze ho označit jako 50% kvantil. Je vhodný pro negaussovské rozložení a pro soubory s odlehlými hodnotami. Lze jej zjistit velmi jednoduše: naměřené hodnoty se setřídí podle velikosti a najde se střed. Je-li počet prvků (n) souboru lichý, je medián roven hodnotě prvku s pořadovým číslem (n+1)/2. Je-li počet prvků souboru sudý, přicházejí v úvahu dvě možnosti. Pokud mají prostřední dva prvky s pořadovými čísly n/2 a (n/2)+1 stejnou hodnotu, medián se rovná této hodnotě. Pokud mají hodnoty odlišné, je medián roven aritmetickému průměru těchto dvou hodnot. Medián by se měl v biologických vědách používat mnohem častěji jako základní ukazatel polohy. Liší-li se průměr a medián, může se jednat o negaussovské rozložení (neplatí vždy).

 

 

Modus

Modus je nejčastěji se vyskytující hodnota v daném souboru. V biologických vědách se nepoužívá často. Nejlépe ji lze zjistit z histogramu nebo s využitím intervalových tabulek.

 

Kvantily

Kvantily představují hodnoty, které oddělují určitou část souboru (určují tedy četnostní meze souboru). Pokud je udáváme v procentech, mluvíme o percentilech. Medián je 50% kvantil. Pokud se hovoří o referenčních mezích, míní se 95 % testované populace (u normálně rozložených dat tedy průměr ± 1,96 směrodatné odchylky). Kvantily, které tuto část populace ohraničují, jsou 2,5% a 97,5% percentil (podmínka normálního rozložení nemusí být splněna). Někdy se pro hrubý popis souborů používají kvartily (dolním a horním kvartilem jsou 25%, resp. 75%  percentil, ohraničují polovinu testované populace). Pokud se pro rozsah celého souboru mezi x_min a x_max zavede 9 kvantilů, označují se jako decily.Je nutné poznamenat, že kvantily mají pravděpodobnostní charakter a proto by se měl pro každý kvantil určit vhodný interval spolehlivosti.

 

 

Literatura

Kubánková, V., Hendl, J.: Statistika pro zdravotníky. Zdravotnické aktuality 208, Avicenum, Praha, 1987.

 

 

Další informace

Statistické míry rozptylu

Statistická prezentace dat

 

 

Antonín Jabor, recenzoval Zdenek Kubíček