Chí-kvadrát test

c²-test patří mezi neparametrické testy hypotéz o rozložení pracující s daty na nominální nebo ordinální škále, v nejjednodušší podobě ve dvou třídách: pozitivní/negativní, úspěch/neúspěch a podobně. Obecně se jedná o testování shody teoretického rozložení v kontingenčních tabulkách. K výkladu je připojen příklad 006.

 

 

Použití c²-testu pro testování hypotéz v kontingenčních tabulkách.

Kontigenční tabulkou se rozumí tabulka o r řádcích a s sloupcích. Pomocí výpočtu hodnoty χ˛ se testují experimentální (o) a teoretické četnosti (e). Používá se tedy v situacích, kdy se porovnává více populací a více než jeden sledovaný kvalitativní znak. V nejjednodušší modifikaci, pro dvě populace a dvě třídy jednoho kvalitativního znaku jsou pozorované a teoretické četnosti následující:

 

 

 

Symboly s tečkou označují příslušné řádkové, resp. sloupcové součty. Ty musejí být totožné pro experimentální i teoretické četnosti.

 

Hodnota c² se počítá analogicky podle již uvedeného vzorce, ale pro všechny buňky tabulky:

 

c² = (o_1,1 – e_1,1)² / e_1,1 + (o_1,2 – e_1,2)² / e_1,2 + (o_2,1 – e_2,1)² / e_2,1 + (o_2,2 – e_2,2)² / e_2,2

 

Pro výpočet teoretických četností e platí obecné vzorce, ve kterých se využívá příslušných řádkových a sloupcových součtů a celkového počtu pozorování:

e_1,1 = o_.,1 * o_1,. / N

e_1,2 = o_.,2 * o_1,. / N

e_2,1 = o_.,1 * o_2,. / N

e_2,2 = o_.,2 * o_2,. / N,

přitom o_.,1=x₁₁+x₂₁ , o_1,.=x₁₁+x₁₂  a podobně.

 

Počet stupňů volnosti se počítá jako součin (počet proměnných ve sloupcích – 1) * (počet proměnných v řádcích – 1), tedy v tomto případě (2 – 1)*(2 – 1) = 1.

 

Zcela analogicky se postupuje u kontingenční tabulky s r řádky a s sloupci, počet stupňů volnosti je (r-1)*(s-1).

 

 

 

Použití c²-testu pro posouzení rozložení experimentálních a teoretických četností

Podobný výpočet hodnoty c² se používá při posuzování rozložení experimentálních a teoretických četností. Zjednodušeně lze říci, že se pracuje s kontingenční tabulkou o jednom řádku a k sloupcích. Postup se používá pro testování shody experimentálního a libovolného teoretického rozložení. Pro k-1 stupňů volnosti je výpočet následující:

 

c² = (o₁ – e₁)² / e₁ + (o₂ – e₂)² / e₂ + .... + (o_k – e_k)² / e_k

 

Základní podmínkou je, že součet všech experimentálních četností a četností teoretických musí být totožný.

 

 

Použití c²-test pro testování hypotéz ve čtyřpolní tabulce

Čtyřpolní tabulka je speciálním případem kontingenční tabulky se dvěma řádky a dvěma sloupci. Pro výpočet hodnoty se používá zjednodušený vzorec, počet stupňů volnosti je 1. Musí být splněna podmínka, že četnost v každé buňce čtyřpolní tabulky je nejméně 5. Pro nižší počty v jednotlivých buňkách je nutné použít Yatesovu korekci nebo Fisherův přímý exaktní test.

 

Postup

Zjistíme počty pozitivních a negativních osob v souboru I. a II. a četnosti spořádáme do čtyřpolní tabulky.

 

 

 

 

Formulujeme nulovou hypotézu (soubory pocházejí ze stejné výchozí populace, frekvence pozitivních se neliší).

 

Vypočteme hodnotu c² (chí-kvadrát):

 

c² = [(ad – bc)² * N] / [(a+c)*(b+d)*(a+b)*(c+d)]

 

 

Zjištěnou hodnotu c² porovnáme s kritickou hodnotou (pro čtyřpolní tabulku vždy pro 1 stupeň volnosti):

 

 

p	0,05	0,025	0,01	0,005	0,001
χ2	3,84	5,02	6,64	7,88	10,82

 

 

Pokud je vypočítaná hodnota c² vyšší než některá z kritických hodnot uvedených v tabulce, nulovou hypotézu zamítáme (pravděpodobnost omylu odečteme z tabulky nebo aproximujeme).

 

 

 

Yatesova korekce

Pro situace, kdy není splněna podmínka dostatečných četností v buňkách čtyřpolní tabulky, lze použít modifikovaný výpočet testovací charakteristiky, nazývaný Yatesova korekce. Je rovněž možné použít  Fisherův přímý exaktní test.

 

 

Literatura

Kubánková, V., Hendl, J.: Statistika pro zdravotníky. Zdravotnické aktuality 208, Praha, Avicenum 1986.

Geigy Scientific Tables. Volum 2, Ciba-Geigy, Basle, 1982.

 

 

Další informace

Fisherův přímý exaktní test

Yatesova korekce

Příklad 006: chí-kvadrát test

 

Antonín Jabor, recenzoval Zdenek Kubíček