Logaritmická transformace
dat se používá v situacích, kdy
rozložení hodnot v souboru nemá normální (gaussovské) rozdělení a je
pozitivní šikmostí – rozdělením pravděpodobnosti protaženým směrem doprava. Pro
řadu biologických veličin platí, že pomocí logaritmické transformace lze
normální rozložení logaritmů hodnot dosáhnout, nebo se rozložení logaritmů
normálnímu rozložení blíží. Obvykle se používá transformace pomocí přirozeného
logaritmu, méně často logaritmus dekadický.
Postup je velmi jednoduchý.
Nejprve zjistíme přirozený logaritmus každé naměřené hodnoty:
|
Původní data |
Logaritmická
transformace |
|
x1 |
ln(x1) |
|
x2 |
ln(x2) |
|
. |
. |
|
. |
. |
|
xn |
ln(xn) |
Dále zjistíme průměr a
směrodatnou odchylku logaritmů hodnot (pro ilustraci uvádíme vlevo odpovídající
veličiny před transformací, vpravo po transformaci dat):
|
Původní data |
Logaritmická
transformace |
|
průměr (x) |
průměr logaritmů (xln) |
|
směrodatná odchylka (s) |
směrodatná odchylka
logaritmů (sln) |
Pokud byla transformace
úspěšná, můžeme zkonstruovat referenční interval (údaj vlevo je jen pro
ilustraci, resp. porovnání):
|
Původní data |
Logaritmická
transformace |
|
95 % populace: |
95 % populace (pozor,
jedná se o logaritmy!) |
|
x ± 1,96*s |
xln ± 1,96*sln |
Střední hodnotu souboru
zjistíme odlogaritmováním průměru logaritmů (vpravo):
|
Původní
data |
Logaritmická
transformace |
|
x |
exln |
Skutečný referenční interval
(95 %) získáme odlogaritmováním příslušných mezí, tedy meze xln -
1,96*sln, resp. meze xln + 1,96*sln takto:
|
Původní
data |
Logaritmická
transformace |
|
x - 1,96*s až x + 1,96*s |
e(xln - 1,96sln) až
e(xln + 1,96sln) |
Takto získané hodnoty lze (v
případě úspěšné transformace k normalitě) prohlásit za referenční meze.
Úplný postup by měl zahrnovat ještě stanovení intervalu spolehlivosti pro dolní
i horní referenční mez.
Příklad efektu transformace přirozeným logaritmem uvádí příklad 007.
Jednoduchá
strategie pro popis datového souboru u různého rozložení a rozsahu dat
Použití deskriptivních
statistických charakteristik se liší zejména podle rozsahu popisovaného
souboru.
A. Je-li méně než ~50 hodnot, je nutné se pokusit
odhadnout typ rozložení dat (i přesto, že grafické znázornění bude někdy
obtížné). Vypočteme průměr, šikmost, špičatost. Pokud rozložení odpovídá
normální (gaussovské) distribuci, lze pro charakterizování souboru uvést průměr
a směrodatnou odchylku. Lze rovněž pracovat s parametrickými testy hypotéz
a uvádět korelační koeficient. Pokud rozložení dat není normální, je
nejvhodnější publikovat kompletní data (nebo počty v intervalech hodnot od
– do, což je vhodnější i v případě zjištěného normálního rozložení), lze
použít pouze neparametrické testy hypotéz.
B. Je-li více než ~50 hodnot, data se vždy znázorní
graficky (histogram, distribuční funkce) a posoudí se normalita rozložení,
případně se vypočte šikmost a špičatost. Je-li rozložení normální, lze pracovat
s průměrem a směrodatnou odchylkou, lze pracovat s parametrickými
testy hypotéz, lze použít korelační koeficienty. Není-li rozložení normální,
zjistí se medián a vhodné kvantily, publikují se počty ve vhodných intervalech,
uvede se grafické znázornění. Pro hodnocení hypotéz je nutné používat
neparametrické testy. Lze provést případně transformaci směrem
k normalitě. Pracuje se (ve výpočtech) s transformovanými hodnotami,
v závěru je nutné provést zpětnou transformaci opačnou funkcí
(retransformaci).
Poznámka
Pro posouzení normality lze
rovněž použít stanovení intervalu x ± 1,96*s. Jsou-li krajní meze intervalu
mimo logický rozsah hodnot (např. záporné), nemají data normální rozložení.
Další informace
Antonín Jabor, recenzoval
Zdenek Kubíček
.